PosWeibull对数正态分布计算结果准确性验证及使用注意事项
一、对数正态分布模型及应用范围
对数正态分布是可靠性工程中较为常用的一个寿命分布模型。对数正态分布模型的两个参数分别为均值mu和标准差σ。对数正态分布与正态分布类似，但是，对数正态分布是假设随机变量值的对数值呈正态分布而不是随机变量本身呈正态分布。因此，对数正态分布的所有随机变量值都是正的，并且分布形状向左倾斜。
在开展寿命数据分析时，通常会遇到到底选择威布尔分布还是对数正态分布更合适的问题。对数正态分布模型和威布尔分布模型均适用于较多类型的寿命数据。但是，对数正态分布模型，它在工程中适用于描述失效模式具有疲劳应力特性的产品寿命分布规律（大部分的机械产品都具有该特性），经常用于金属疲劳试验数据、维修数据（维修时间）、化学工艺设备的故障和维修数据、材料特性以及非线性加速退化数据分析。当失效时间是由效应相乘（叠加）得到时，建议使用对数正态分布。例如，设备随着环境应力不断恶化而出现了裂纹，且裂纹随着应力增加不断增大，类似这样的数据可以使用对数正态分布模型进行分析。
`f(t')=\frac{1}{\sigma'\sqrt{2\pi}}e^{\-1/2(\frac{t'-u'}{\sigma'})^2}`
`t'`是故障时间t的自然对数值，即`t'=ln(t)`。需要记住这个特征，后续的换算需要用到。
同样，`u'`、`σ'`分别为故障时间t的自然对数的均值、标准差。
二、PosWeibull的对数正态分布计算准确性测试
为验证PosWeibull软件的计算精度，选择国外同类的Re软件、国外的M软件与PosWeibull的22版本进行对比验证。
（1）测试案例1
某产品可靠性试验的故障数据如下：2，5，11，23，29，37，43，59，单位是小时。
现选择对数正态分布作为拟合的分布类型，计算方法分别选择极大似然法，置信度取0.95（双侧），分别使用PosWeibull的寿命分析模块、Re软件的Weibull模块、M软件对上述数据进行计算。计算结果如下表所示。
结果分析：选择极大似然法时，三个工具计算得到的均值参数`u`、标准差`σ`参数`η`基本一致，误差小于0.01%。其中，PosWeibull的计算结果与M软件的完全一致。
表1 案例1计算结果对比（极大似然法）
| 输入数据 | ||||
|---|---|---|---|---|
| 2，5，11，23，29，37，43，59 | 是否删失 | 无删失 | ||
| 计算设置 | 计算软件 | PosWeibull | Re软件 | M软件 |
| 计算方法 | 极大似然 | 极大似然 | 极大似然 | |
| 置信度 | 0.95（双侧） | 0.95（双侧） | 0.95（双侧） | |
| 分布类型 | 对数正态分布 | 对数正态分布 | 对数正态分布 | |
| 计算结果 | 均值`u` | 2.83162 | 2.83（四舍五入） | 2.83162 |
| 标准差`σ` | 1.09875 | 1.10（四舍五入） | 1.09875 | |
图1-PosWeibull软件计算结果
图2-M软件计算结果
（2）测试案例2
使用Kececioglu 所编的《Reliability & Life Testing Handbook》资料里面的的案例进行对比验证。
故障数据点分别为：62.5、91.9、100.3、117.4、141.1、146.8、172.7、192.5、201.6、235.8、249.2、297.5、318.3、410.6、550.5。将该数据集的数据分别录入到PosWeibull的寿命分析模块、Re软件的Weibull模块、M软件进行计算。计算方法选择RRX方法。
《Reliability & Life Testing Handbook》资料通过概率图方法给出的结果为`u`=5.22575，`σ`=0.62048。
Re软件计算结果为`u`=5.2303，σ=0.6283。
M软件计算结果为`u`=5.23028，σ=0.630225。
PosWeibull软件的计算结果为`u`=5.23028，`σ`=0.630225。
可以看出，PosWeibull软件的计算结果与M软、Re软件的基本一致，与《Reliability & Life Testing Handbook》资料通过概率图方法给出的结果也基本一致，存在细微差别的原因是《Reliability & Life Testing Handbook》资料的计算方法是通过手动绘制拟合线的，得到的结果精度相对较差一些。
表2 案例2计算结果对比（最小二乘法）
| 输入数据 | ||||
|---|---|---|---|---|
| 62.5、91.9、100.3、117.4、141.1、146.8、172.7、192.5、201.6、235.8、249.2、297.5、318.3、410.6、550.5 | 是否删失 | 无删失 | ||
| 计算设置 | 计算软件 | PosWeibull | Re软件 | M软件 |
| 计算方法 | RRX | RRX | RRX | |
| 置信度 | 0.95（双侧） | 0.95（双侧） | 0.95（双侧） | |
| 分布类型 | 对数正态分布 | 对数正态分布 | 对数正态分布 | |
| 计算结果 | 均值`u` | 5.23028 | 5.2303 | 5.23028 |
| 标准差`σ` | 0.630225 | 0.6283 | 0.630225 | |
图3-PosWeibull软件计算结果
图4-M软件计算结果
（3）测试案例3：较多删失数据
以Nelson的《Applied Life Data Analysis》的机车控制设备的故障数据为例，分别使用Re软件、PosWeibull软件、M软件进行计算。一共96个样本，其中37个样本出现故障，59个样本未故障（删失）。
Re软件的计算结果为`u`=2.2223，`σ`=0.3064，均为10为底的对数的结果。
M软件的计算结果为`u`=5.11692，`σ`=0.70549，均为自然对数的结果。
PosWeibull的计算结果为`u`=5.11692，`σ`=0.705494，均为自然对数的结果。
由于Re软件给出的是10为底的对数的计算结果，将PosWeibull软件的计算结果转为10为底的对数的计算结果，转换后的PosWeibull的计算结果（10为底）为`u'`=2.22225，`σ'`=0.306351。基本与Re软件的计算结果一致。表明在使用对数正态分布处理包含较多的删失数据的时候，PosWeibull所计算得到的结果与国外Re等软件的计算结果基本一致，满足工程需求。但是，使用的时候需要特别注意，PosWeibull软件对数正态分布计算得到的是取对数后的变量的计算结果！！
表3 案例3计算结果对比（极大似然法）
| 输入数据 | ||||
|---|---|---|---|---|
| 22.5,37.5,46,48.5,51.5,53,54.5,57.5,66.5, 68,69.5,76.5,77,78.5,80,81.5, 82,83,84,91.5,93.5,102.5,107,108.5,112.5,113.5,116, 117,118.5,119,120,122.5,123,127.5,131,132.5,134,135(+,59) | 是否删失 | 存在删失，删失标记(+) | ||
| 计算设置 | 计算软件 | PosWeibull | Re软件 | M软件 |
| 计算方法 | 极大似然 | 极大似然 | 极大似然 | |
| 置信度 | 0.95（双侧） | 0.95（双侧） | 0.95（双侧） | |
| 分布类型 | 对数正态分布 | 对数正态分布 | 对数正态分布 | |
| 计算结果 | 均值`u` | 5.11692 | 2.2223 | 5.11692 |
| 标准差`σ` | 0.705494 | 0.3064 | 0.70549 | |
图5-机车设备故障概率图
三、使用注意事项
（1）在使用PosWeibull的对数正态分布模型进行寿命数据分析的时候，需要注意的是，所计算得到的均值`u'`、标准差`σ'`均为自然对数（e为底）时的结果。如果要利用PosWeibull软件计算得到的均值、标准差进行故障时间预测时，可采用如下方法：a、利用PosWeibull软件计算所得到的均值`u'`、标准差`σ'`，计算出对应的故障时间`t'`。b、根据`t'=ln(t)`关系，使用`t=exp(t')`换算出`t`的值。
（2）使用对数正态分布时，需要注意与威布尔分布的相似性和差异性。