卡方法可靠性试验设计的原理、来源及注意事项
发布时间： 2023-03-06
在开展可靠性工作过程中，通常使用到卡方分布（Chi-Squared distribution）.比如使用卡方分布进行分布检验、拟合优度检验、可靠性试验设计等。这里介绍如何使用卡方分布进行可靠性试验设计，以及为何能够使用卡方分布进行可靠性试验设计，它的来源和原理是什么以及需要注意哪些问题。
1、什么是卡方分布
卡方分布在概率论和统计学中，k自由度的卡方分布是指k个独立的服从标准正态的随机变量的平方和的分布。换句话说，假定k个独立的随机变量均服从标准正态分布，则这k个服从标准正态分布的随机变量的平方和则构成了一个新的随机变量，这个随机变量的分布就称为卡方分布。需要注意，卡方分布也是伽马分布（Gamma）的一种特例。例如下面公式，`Z_{i}`是服从标准正态分布的随机变量，Q是k个标准正态随机变量的平方和。
`Q=\sum_{i=1}^{k}Z_{i}^{2}`
则Q为自由度为k的卡方分布。通常可以写成`χ^{2}`。
`Q~χ^{2}(k)`
2、如何使用卡方分布进行可靠性试验设计
使用卡方分布进行可靠性试验设计之前，首先需要了解指数分布。指数分布的失效概率密度函数为：
`f(t)=λe^{-λt}`。
式中，`λ`是失效率。对于指数分布，平均故障前时间（MTTF）我们可以通过如下公式换算得到：
`M T T F=1/λ`
另外，对于寿命服从指数分布的产品，其可靠度计算公式为：
`R(t)=e^{-λt}`
通过对寿命服从指数分布的产品的失效概率密度函数公式、平均故障前时间MTTF的公式、可靠度公式，我们可以看到失效率λ、MTTF、可靠度之间是存在对应关系的。即在设计可靠性试验的时候，如果需要验证的指标为故障率，那么我们可以将故障率换算为MTTF；同理，如果要验证t时刻的可靠度，那么我们可以换算出失效率λ后再换算出MTTF。换算出MTTF值后，我们可以针对MTTF指标进行可靠性验证试验。
对于寿命服从指数分布的产品，我们通常需要设计相应的可靠性试验验证产品是否满足平均故障前时间MTTF的指标要求。一方面，我们可以直接选用GJB899A等标准推荐的试验方案，也可以通过卡方法设计可靠性试验方案。
3、卡方法进行可靠性试验设计的模型
如前所述，对于寿命服从指数分布的产品，无论是要验证失效率，还是可靠度，我们都可以通过上面的公式转为验证MTTF值。
当产品寿命服从指数分布时（切记是服从指数分布才可以直接这么操作），使用卡方法进行可靠性试验设计的公式为：
`X_{CL,2r+2}^{2}/(2T)=1/(M T T F)`
即 `T=(M T T F*X_{CL,2r+2}^{2})/2`
这里的CL是置信水平，r是故障个数，T是累积试验时间（切记这里是累积试验时间，通常称为试验台时）。
上述这个公式是开展可靠性工作通常要用到的。但是，上述公式为什么可以用来进行可靠性试验设计？它的内在原理是什么呢？
通过对寿命服从指数分布的产品的失效概率密度函数公式、平均故障前时间MTTF的公式、可靠度公式，我们可以看到失效率λ、MTTF、可靠度之间是存在对应关系的。即在设计可靠性试验的时候，如果需要验证的指标为故障率，那么我们可以将故障率换算为MTTF；同理，如果要验证t时刻的可靠度，那么我们可以换算出失效率λ后再换算出MTTF。换算出MTTF值后，我们可以针对MTTF指标进行可靠性验证试验。
对于寿命服从指数分布的产品，试验时间T内的故障个数服从泊松分布，并且泊松参数为`λT`。
`P(N(T)=i)=[(λT)^{i}e^{-(λT)}]/(i!)`
通过这个公式，我们可以根据下面公式求出失效率λ的上限值
`1-CL=\sum_{i=0}^{r}[(λT)^{i}e^{-(λT)}]/(i!)`
r是总的故障个数；`CL`是置信水平；λ是失效率。为便于计算，令`x=λT`
`1-CL=\sum_{i=0}^{r}[(x)^{i}e^{-(x)}]/(i!)`
通过上面这个公式，如果给出了置信水平值`CL`，相应的变量x的上限值就可以求出。其实，上面的公式是随机变量`x`的累积分布函数。
`Pr(X \lt x)=CL=1-\sum_{i=0}^{r}[(x)^{i}e^{-(x)}]/(i!)`
这个公式可以与伽马分布进行比较。伽马分布的累积失效概率函数（CDF）计算公式为：
`Pr(Y \lt y)=G(y;k,λ)=1-\sum_{i=0}^{k-1}[(λy)^{i}e^{-(λy)}]/(i!)`
对比上面公式，我们可以看出，变量x服从伽马分布X~Gamma(r+1,1)。由此，根据伽马分布的特性，我们可以得到2X~Gamma(r+1,2)。所以，`χ_{2(r+1)}^{2}`其实就是一个伽马分布的特例，即服从Gamma(r+1,2)的伽马分布。由于前面我们定义了`x= λT`，所以得到
`λ=X_{CL,2r+2}^{2}/(2T)=1/(M T T F)`
从上面公式可以看出，使用上面公式进行可靠性试验设计时，需要注意前提，即产品的寿命服从指数分布。
其实，指数分布本身也是gamma分布的一个特例。如果随机变量X服从卡方分布，即`X~x_{2}^{2}`,那么`X~exp(1/2)`。
4、卡方法进行可靠性试验设计的示例
可使用PosWeibull的试验设计模块的可靠性试验设计功能，进行卡方法的可靠性试验设计。
案例1---可靠度验证：假设某产品要验证5000小时的可靠度达到0.97，且置信度为95%。试验过程中假设允许0个样本失效，需要开展多久的试验才能验证该产品的可靠性满足指标要求？
设计方法选择卡方法，验证指标选择可靠度，指标值输入0.97。置信度输入95%，时间输入5000小时，最大允许失效数输入0。点击计算，即可计算出所需的累积试验时间数为491761.36小时。这个是累积试验台时。根据累积试验台时以及可用的试验样本个数，分配得到各样本需要进行的试验时间。
案例2---MTTF验证：假设某产品要验证可靠性指标MTTF满足3000小时的要求，且置信度为95%。试验过程中假设允许1个样本失效，需要开展多久的试验才能验证该产品的可靠性满足指标要求？
设计方法选择卡方法，验证指标选择MTTF，指标值输入3000。置信度输入95%，最大允许失效数输入1。点击计算，即可计算出所需的累积试验时间数为14,231.59小时。这个是累积试验台时。根据累积试验台时以及可用的试验样本个数，分配得到各样本需要进行的试验时间。